大阪大学 2006年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

点 $O$ を中心とする半径5と10の同心円 $C_{1}, C_{2}$ があり、 $O$ から距離2の定点 $A$ がある。動点 $P_{1}, P_{2}$ はそれぞれ $C_{1}, C_{2}$ 上を一定の速さで反時計回りに動く。ある時点で $O, A, P_{1}, P_{2}$ がこの順に一直線に並び、 $P_{2}$ が1周する間に $P_{1}$ は2周する。 $△ A P_{1} P_{2}$ の面積の最大値を求めよ。

出典：大阪大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

一直線に並ぶ時刻を基準に座標を置き、 $P_{2}$ の回転角を $θ$ とする。すると $P_{1}$ の回転角は $2 θ$ である。2本のベクトルの行列式から面積を $5∣ sin θ ∣ (7 - 2 cos θ)$ と表し、 $c = cos θ$ による1変数の最大化へ帰着する。

解答

一直線に並ぶ時刻を $θ = 0$ とし、 $O = (0, 0), A = (2, 0)$ とおく。 $P_{2}$ の回転角を $θ$ とすれば、角速度の条件から

P_{1} = (5 cos 2 θ, 5 sin 2 θ), P_{2} = (10 cos θ, 10 sin θ)

である。 $△ A P_{1} P_{2}$ の面積を $T$ とすると、行列式により

2 T = ∣ (5 cos 2 θ - 2) 10 sin θ - 5 sin 2 θ (10 cos θ - 2) ∣ = ∣ - 50 sin θ - 20 sin θ + 10 sin 2 θ ∣ = 10∣ sin θ ∣ (7 - 2 cos θ) .

したがって

T = 5∣ sin θ ∣ (7 - 2 cos θ) .

$c = cos θ$ とおく。 $7 - 2 c > 0$ なので、 $T$ を最大にすることは

F (c) = (1 - c^{2}) (7 - 2 c)^{2} (- 1 ≦ c ≦ 1)

を最大にすることと同値である。微分すると

F^{'} (c) = - 2 (7 - 2 c) (7 c + 2 - 4 c^{2}) .

区間内の停留点は $4 c^{2} - 7 c - 2 = 0$ の解 $c = - 1/4$ だけである。両端では $F = 0$ だから、この点で最大となる。よって

max T = 5 1 - \frac{1}{16} (7 + \frac{1}{2}) = \frac{75 15}{8} .

大阪大学 2006年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

大阪大学 2006年度
後期・理系数学後期第1問