大阪大学 2006年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$a > 1$ とする。曲線 $y = tan x$ $(0 ≦ x < \frac{π}{2})$ と直線 $y = a x$ によって囲まれた部分の面積を $S$ とする。 $a \to \infty lim \frac{S}{a}$ を求めよ。ただし $lim_{x \to + 0} x lo g x = 0$ を用いてよい。

出典：大阪大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

原点以外の交点の $x$ 座標を $α$ とし、 $tan α = a α$ を使う。面積を積分すると $S / a = α^{2} /2 + (lo g cos α) / a$ となる。 $a \to \infty$ で $α \to π /2$ を示し、第2項は $δ = π /2 - α$ と置いて与えられた極限へ帰着する。

解答

$f (x) = tan x / x$ とおくと、 $0 < x < π /2$ で $f$ は単調増加し、 $x \to + 0$ で1、 $x \to π /2 - 0$ で無限大となる。したがって $a > 1$ に対し

tan α = a α

を満たす $α \in (0, π /2)$ がただ1つ存在する。また $a \to \infty$ のとき $α \to π /2$ である。

区間 $0 < x < α$ では $a x > tan x$ だから

S = \int_{0}^{α} (a x - tan x) d x = \frac{a α ^{2}}{2} + lo g (cos α) .

よって

\frac{S}{a} = \frac{α ^{2}}{2} + \frac{lo g ( cos α )}{a} .

ここで $δ = π /2 - α$ とおくと $δ \to + 0$ であり、交点条件から

\frac{1}{a} = \frac{α}{tan α} = α tan δ .

したがって

\frac{lo g ( cos α )}{a} = α tan δ lo g (sin δ) = \frac{α}{cos δ} {sin δ lo g (sin δ)} ⟶ 0.

以上より

a \to \infty lim \frac{S}{a} = \frac{1}{2} (\frac{π}{2})^{2} = \frac{π ^{2}}{8} .

大阪大学 2006年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

大阪大学 2006年度
後期・理系数学後期第3問