大阪大学 2004年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

高さ1の平行な2平面上に同じ正三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}, Q_{1} Q_{2} Q_{3}$ がある。点 $P$ は下の周を $P_{1} \to P_{2} \to P_{3} \to P_{1}$ 、点 $Q$ は上の周を $Q_{2} \to Q_{3} \to Q_{1} \to Q_{2}$ へ同速で動く。線分 $P Q$ の掃く面と上下の三角形で囲まれる立体 $K$ について、

(1) $0 ≦ t, a ≦ 1$ で線分 $P Q$ と $z = a$ の交点を求めよ。

(2) $z = a$ の切り口の面積を求めよ。

(3) 体積を求めよ。

出典：大阪大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は最初の1辺を動く $P, Q$ を時刻 $t$ で座標表示し、線分を高さ比 $a$ で内分する。(2)は時刻0,1,2に対応する3点が切り口の頂点になるので行列式で面積を求める。(3)は高さ $a$ で積分する。

解答

(1)

$0 ≦ t ≦ 1$ では

P = (t, 0, 0), Q = (1 - \frac{t}{2}, \frac{3}{2} t, 1) .

線分 $P Q$ 上で高さが $a$ の点は $(1 - a) P + a Q$ だから

(a + t (1 - \frac{3 a}{2}), \frac{3}{2} a t, a) .

(2)

1周の3つの辺について同様に考えると、切り口は次の3点を頂点とする三角形である。

R_{0} = (a, 0), R_{1} = (1 - \frac{a}{2}, \frac{3}{2} a), R_{2} = (\frac{1 - a}{2}, \frac{3}{2} (1 - a)) .

2本の辺ベクトルの行列式から面積 $A (a)$ は

A (a) = \frac{1}{2} det (R_{0} R_{1}, R_{0} R_{2}) = \frac{3}{4} (1 - 3 a + 3 a^{2}) .

(3)

よって体積は

V = \int_{0}^{1} A (a) d a = \frac{3}{4} \int_{0}^{1} (1 - 3 a + 3 a^{2}) d a = \frac{3}{8} .

大阪大学 2004年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2004年度
後期・理系数学後期第4問