大阪大学 2004年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

双曲線 $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ 上の $P (s, t)$ $(s, t > 0)$ における法線が、双曲線 $y^{2} - x^{2} = b^{2}$ に $Q$ で接する。

(1) $s^{2}, t^{2}$ を $a, b$ で表せ。

(2) $O Q / O P$ と $∠ P O Q$ を求めよ。

出典：大阪大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

第1双曲線の法線を求め、第2双曲線との連立方程式が重解をもつ判別式条件を使う。接点 $Q$ は重解の座標から求め、 $P, Q$ の位置ベクトルの長さと内積を比較する。

$P$ が第1双曲線上にあるので

s^{2} - t^{2} = a^{2} .

接線の傾きは $s / t$ だから、法線は

y = - \frac{t}{s} x + 2 t .

これを $y^{2} - x^{2} = b^{2}$ へ代入して得る $x$ の2次方程式が重解をもつ条件を計算すると

4 s^{2} t^{2} = a^{2} b^{2} .

$s, t > 0$ より

2 s t = ab .

$u = s^{2}, v = t^{2}$ とおけば $u - v = a^{2}, uv = a^{2} b^{2} /4$ なので

s^{2} = \frac{a}{2} (a + a^{2} + b^{2}), t^{2} = \frac{a}{2} (a^{2} + b^{2} - a) .

連立で生じる2次方程式の重解から

Q = (- \frac{2 t ^{2} s}{a ^{2}}, \frac{2 t s ^{2}}{a ^{2}}) = \frac{b}{a} (- t, s)

である。したがって

O Q^{2} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}} (s^{2} + t^{2}), O P^{2} = s^{2} + t^{2},

より

\frac{O Q}{O P} = \frac{b}{a} .

また

(s, t) \cdot \frac{b}{a} (- t, s) = 0

だから

∠ P O Q = \frac{π}{2} .