大阪大学 2004年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

差の恒等式を整数 $x = 1, \dots, n$ について加える方法を考える。

(1) $(x + 1)^{4} - x^{4} = 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$ を用いて $\sum_{k = 1}^{n} k^{3}$ を求めよ。

(2) $\sum_{k = 1}^{n} k^{5}$ が $n$ の6次式になることを示し、6次・5次の係数を求めよ。

出典：大阪大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

(1)は与えられた恒等式を加えて左辺を望遠和にし、既知の1乗和・2乗和を代入する。(2)は同じ差分恒等式からべき和が1次高い多項式になることを示し、6次式の上位2係数を隣り合う値の差で比較する。

与式を $x = 1, 2, \dots, n$ について加えると

(n + 1)^{4} - 1 = 4 k = 1 \sum n k^{3} + 6 k = 1 \sum n k^{2} + 4 k = 1 \sum n k + n .

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

を代入して整理すると

k = 1 \sum n k^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2} .

一般に

(x + 1)^{m + 1} - x^{m + 1} = (m + 1) x^{m} + それより低い次数の項

を $x = 1, \dots, n$ について加え、低いべきの和から順に帰納すれば、 $\sum_{k = 1}^{n} k^{m}$ は $n$ の $m + 1$ 次多項式になる。よって

T (n) = k = 1 \sum n k^{5} = A n^{6} + B n^{5} + 4 次以下の項

と書ける。

$T (n) - T (n - 1) = n^{5}$ である。一方

n^{6} - (n - 1)^{6} = 6 n^{5} - 15 n^{4} + 3 次以下の項,

n^{5} - (n - 1)^{5} = 5 n^{4} + 3 次以下の項 .

係数比較から

6 A = 1, - 15 A + 5 B = 0.

したがって

A = \frac{1}{6}, B = \frac{1}{2} .

よって6次の項の係数は $1/6$ 、5次の項の係数は $1/2$ である。