大阪大学 2004年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$f (x) = - x^{2} lo g x$ $(x > 0)$ とする。

(1) 曲線上の接線が原点を通るときの接線と接点を求めよ。

(2) その傾きを $p$ とすると $- x lo g x ≦ p$ を示せ。

(3) $lim_{x \to 0 +} f (x)$ を求めよ。

(4) $S (b) = \int_{b}^{1} ∣ f (x) - x^{2} /2∣ d x$ の $b \to 0 +$ での極限を求めよ。

出典：大阪大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

(1)は接点 $a$ に対し原点通過条件 $f (a) = a f^{'} (a)$ を使う。(2)は $- x lo g x$ 自体の最大値を調べる。(4)は絶対値内の符号が変わる $x = e^{- 1/2}$ で積分を分ける。

f^{'} (x) = - 2 x lo g x - x .

接点を $(a, f (a))$ とすると、接線が原点を通る条件は $f (a) = a f^{'} (a)$ である。よって

- a^{2} lo g a = a (- 2 a lo g a - a),

すなわち $lo g a = - 1$ である。したがって

a = e^{- 1}, f (a) = e^{- 2}, f^{'} (a) = e^{- 1} .

接点は $(e^{- 1}, e^{- 2})$ 、接線は

y = \frac{x}{e}

である。

$g (x) = - x lo g x$ とおくと

g^{'} (x) = - lo g x - 1.

したがって $x = e^{- 1}$ で最大となり

- x lo g x ≦ \frac{1}{e} = p .

$u = 1/ x$ とおけば

- x^{2} lo g x = \frac{lo g u}{u ^{2}} ⟶ 0.

f (x) - \frac{1}{2} x^{2} = x^{2} (- lo g x - \frac{1}{2})

は $c = e^{- 1/2}$ で符号を変える。よって

b \to 0 + lim S (b) = \int_{0}^{c} x^{2} (- lo g x - \frac{1}{2}) d x + \int_{c}^{1} x^{2} (lo g x + \frac{1}{2}) d x .

\int x^{2} lo g x d x = \frac{x ^{3}}{3} lo g x - \frac{x ^{3}}{9}

を用いると、第1積分は $e^{- 3/2} /9$ 、第2積分は $1/18 + e^{- 3/2} /9$ である。したがって

b \to 0 + lim S (b) = \frac{1 + 4 e ^{- 3/2}}{18} .