大阪大学 2003年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

始点 $O$ を共有し鋭角 $θ$ をなす半直線 $l_{1}, l_{2}$ 上に $O A = 1, O B = b$ となる点 $A, B$ を取る。 $O$ から直線 $A B$ への垂線の足を $P$ とする。

(1) $O P = t O A + (1 - t) O B$ の $t$ を求めよ。

(2) $P$ が2半直線にはさまれる領域にある $b$ の範囲を求めよ。

(3) その範囲で $P$ が描く軌跡と $l_{1}, l_{2}$ が囲む面積を求めよ。

出典：大阪大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は $O P ⊥ A B$ を内積で表す。(2)では $P$ が二つの辺方向の非負結合になる条件、すなわち $0 ≦ t ≦ 1$ を使う。(3)は $∠ O P A = 9 0^{\circ}$ から軌跡が直径 $O A$ の円弧になることを利用し、極座標で面積を積分する。

解答

(1)

$a = O A, b = O B$ とおくと、 $∣ a ∣ = 1, ∣ b ∣ = b, a \cdot b = b cos θ$ である。 $P$ は垂線の足だから

{t a + (1 - t) b} \cdot (a - b) = 0.

これを解いて

t = \frac{b ( b - cos θ )}{b ^{2} - 2 b cos θ + 1} .

(2)

分母は $A B^{2} > 0$ である。 $P$ が二半直線の間にある条件は $0 ≦ t ≦ 1$ だから

b - cos θ ≧ 0, 1 - b cos θ ≧ 0.

よって

cos θ ≦ b ≦ \frac{1}{cos θ} .

(3)

$O P ⊥ A P$ より、 $P$ は直径 $O A$ の円上にある。(2)の両端では、 $P$ はそれぞれ $l_{2}, l_{1}$ 上にあるので、求める軌跡はその円の両半直線間の円弧である。 $l_{1}$ からの偏角を $ϕ$ とし $O P = ρ$ とすると、直径 $O A$ の円の方程式は

ρ = cos ϕ (0 ≦ ϕ ≦ θ) .

したがって囲まれる面積は

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{θ} ρ^{2} d ϕ = \frac{1}{2} \int_{0}^{θ} cos^{2} ϕ d ϕ = \frac{θ}{4} + \frac{sin 2 θ}{8} .

大阪大学 2003年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2003年度
後期・理系数学後期第2問