大阪大学 2003年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$p > q > r$ とする。 $x^{3} + p x^{2} + q x + r = 0$ の解が連続する3整数 $n - 1, n, n + 1$ であるとき、 $n, p, q, r$ を求めよ。

出典：大阪大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

3根を持つ多項式を $(x - n + 1) (x - n) (x - n - 1)$ として展開し、 $p, q, r$ を $n$ で表す。二つの大小条件を順に使って整数 $n$ を絞る。

与えられた多項式は

(x - (n - 1)) (x - n) (x - (n + 1)) = (x - n)^{3} - (x - n) = x^{3} - 3 n x^{2} + (3 n^{2} - 1) x + n - n^{3} .

したがって

p = - 3 n, q = 3 n^{2} - 1, r = n - n^{3} .

条件 $p > q$ は

3 n^{2} + 3 n - 1 < 0

である。この不等式を満たす整数は $n = - 1, 0$ だけである。さらに $q > r$ を調べると、 $n = 0$ では $- 1 > 0$ となって不適、 $n = - 1$ では $2 > 0$ となって適する。よって

n = - 1, p = 3, q = 2, r = 0.

実際、方程式は $x (x + 1) (x + 2) = 0$ となり、根は $- 2, - 1, 0$ 、かつ $3 > 2 > 0$ である。