大阪大学 2002年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

コインを $n$ 回投げた表の回数を $X_{n}$ とする。 $X_{n} \equiv 0 (mod 3)$ の確率を $p_{n}$ 、 $X_{n} \equiv 2 (mod 3)$ の確率を $q_{n}$ とする。

(1) $p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}$ を求めよ。

(2) $p_{n}, q_{n}$ を $p_{n - 1}, q_{n - 1}$ で表せ。

(3) $p_{n}$ を $p_{n - 3}$ で表せ。

(4) $p_{3 k}, p_{3 k + 1}, p_{3 k + 2}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

表の枚数を3で割った余り0,1,2の三状態に分類する。(2)は最後の一投で遷移を立てる。(3)は3投分をまとめ、表の枚数が0,1,2,3である確率を使う。3刻みの一次漸化式を固定点1/3からの差に直して解く。

解答

(1)

p_{1} = \frac{1}{2}, p_{2} = \frac{1}{4}, q_{1} = 0, q_{2} = \frac{1}{4} .

(2)

余り1の確率は $1 - p_{n - 1} - q_{n - 1}$ である。最後が裏または表の場合を分けると

p_{n} = \frac{p _{n - 1} + q _{n - 1}}{2}, q_{n} = \frac{1 - p _{n - 1}}{2} .

(3)

追加する3投で表が0または3回の確率は $1/4$ 、1回と2回の確率は各 $3/8$ である。したがって

p_{n} = \frac{1}{4} p_{n - 3} + \frac{3}{8} (1 - p_{n - 3}) = \frac{3 - p _{n - 3}}{8} .

(4)

便宜上 $p_{0} = 1$ とする。漸化式は

p_{n} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{8} (p_{n - 3} - \frac{1}{3})

となる。初期値 $p_{0} = 1, p_{1} = 1/2, p_{2} = 1/4$ から

p_{3 k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{8})^{k},

p_{3 k + 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{8})^{k}, p_{3 k + 2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{8})^{k} .

大阪大学 2002年度後期・理系数学 後期 第4問

問題