大阪大学 2002年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$0 < t < 1$ 、 $A = (t, 1/ t)$ とする。 $A$ から $y = x$ への垂線の足を $P$ 、 $P$ の原点対称を $Q$ とする。

(1) 直線 $Q A$ の傾きを求めよ。

(2) $Q A$ 上で $A$ の先に $R$ を取り、 $∠ P A R$ の二等分線が $y = 1/ x$ の $A$ での接線と直交するとき、 $t^{2}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

PはAの座標を直線y=xへ正射影して求める。(2)ではray APの方向角が $- π /4$ 、ray ARの傾きが(1)で分かる。接線に垂直な二等分線の傾きは $t^{2}$ なので、倍角公式で方程式を作る。

P = (\frac{t + 1/ t}{2}, \frac{t + 1/ t}{2}), Q = - P .

したがって $Q A$ の傾きは

m = \frac{1/ t + ( t + 1/ t ) /2}{t + ( t + 1/ t ) /2} = \frac{t ^{2} + 3}{3 t ^{2} + 1} .

$r = t^{2}$ とおく。ray $A P$ の方向角は $- π /4$ 、ray $A R$ の方向角を $ϕ$ とすれば $tan ϕ = m$ である。曲線の接線の傾きは $- 1/ t^{2}$ だから、それに垂直な二等分線の傾きは $r$ である。よって

\frac{ϕ - π /4}{2} = arctan r, m = tan (2 arctan r + \frac{π}{4}) .

倍角公式を用いて(1)の値と等置すると

\frac{r + 3}{3 r + 1} = \frac{1 - r ^{2} + 2 r}{1 - r ^{2} - 2 r} .

整理して

r^{3} - 5 r^{2} - 5 r + 1 = (r + 1) (r^{2} - 6 r + 1) = 0.

$0 < r < 1$ と角の配置を満たす解は

t^{2} = r = 3 - 22

である。