大阪大学 2002年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

平行六面体で $A B = a, A D = b, A E = c$ とする。 $A P / A B = x, E Q / E H = y, H R / H G = x, C S / C G = z$ である辺上の点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にある。

(1) $z$ を求めよ。

(2) $x, y$ の領域を求めよ。

(3) $T = QS \cap P R$ 、 $P T = t P R$ の $t$ を求めよ。

出典：大阪大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

$a, b, c$ を座標軸のように使って4点を成分表示する。共面条件は3本の差ベクトルの係数行列式が0であること。(2)は辺上条件 $0 < z < 1$ 、(3)は直線PRとQSの二通りの表示を係数比較する。

各点は

P = x a, Q = y b + c, R = x a + b + c, S = a + b + z c

と表せる。

$Q - P, R - P, S - P$ の係数行列式を0とすると

- x (z - 1) + (1 - x) (y - 1) = 0.

よって

z = 1 - \frac{( 1 - x ) ( 1 - y )}{x} = \frac{2 x + y - x y - 1}{x} .

$0 < x, y < 1$ のもとでは上式から常に $z < 1$ である。 $z > 0$ は

x > (1 - x) (1 - y), 2 x + y - x y > 1

と同値である。したがって領域は単位正方形内で曲線

y = \frac{1 - 2 x}{1 - x} (0 < x < 1/2)

より上側であり、 $1/2 ≦ x < 1$ では全ての $0 < y < 1$ が許される。境界は含まない。

$T = P + t (R - P) = x a + t b + t c$ とする。一方 $T = Q + u (S - Q)$ と書けば、 $a$ 成分から $u = x$ 、 $b$ 成分から

t = y + x (1 - y) = x + y - x y

を得る。 $c$ 成分も(1)の共面条件により同じ値となる。