大阪大学 2002年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$O = (0, 0), A = (t^{2}, 0)$ 、 $a > 0$ とし、 $∠ O A P = a t, A P = a$ となる点 $P$ を上半平面に取る。

(1) $P$ を求めよ。

(2) $0 ≦ t ≦ π / a$ で軌跡を $x$ 軸回転した体積 $V (a)$ を求めよ。

(3) $V (a)$ を最小にする $a$ を求めよ。

出典：大阪大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

点AからOへの方向はx軸負方向なので、Pを三角関数で表示する。軌跡のx座標はtとともに増加するため、回転体積は $π \int y^{2} d x$ を媒介変数で計算できる。最後にaの1変数関数を微分する。

点 $A$ から $O$ への向きは偏角 $π$ だから

P = (t^{2} - a cos a t, a sin a t) .

$x = t^{2} - a cos a t$ , $y = a sin a t$ とおくと

\frac{d x}{d t} = 2 t + a a sin a t ≧ 0

である。よって

V (a) = π \int_{0}^{π / a} y^{2} \frac{d x}{d t} d t = π \int_{0}^{π / a} a sin^{2} (a t) {2 t + a a sin (a t)} d t = π (\frac{π ^{2}}{2 a} + \frac{4}{3} a^{3/2}) .

ここでは $u = a t$ と置き、 $\int_{0}^{π} u sin^{2} u d u = π^{2} /4$ , $\int_{0}^{π} sin^{3} u d u = 4/3$ を用いた。

括弧内を微分すると

- \frac{π ^{2}}{2 a ^{2}} + 2 a .

これが0となる条件は $a^{5/2} = π^{2} /4$ である。導関数はこの点の前で負、後で正だから

a = (\frac{π}{2})^{4/5}

のとき最小となる。