大阪大学 2000年度
理系数学 第5問

解答

立方体の一辺の長さを1とする。このとき立方体の体積は1である。等体積の球の半径を $\rho$ とすると $\frac{4}{3}\pi {\rho }^3=1$ であるから ${\rho }^3=\frac{3}{4\pi }$ である。$\pi =3.14\cdots$ より $\frac{1}{2}<\rho <\frac{5}{8}$ である。実際、$\rho >1/2$ は $3/(4\pi )>1/8$、すなわち $6>\pi$ から従い、$\rho <5/8$ は $3/(4\pi )<125/512$、すなわち $1536<500\pi$ から従う。また $5/8<\sqrt{2}/2$ である。

(1)

隣り合う2頂点を考え、その中点に球の中心を置けば、2頂点までの距離は $\frac{1}{2}$ である。$\rho >1/2$ なので、この2頂点は球の内部に入る。したがって2個は可能である。

一方、立方体の任意の3頂点を取ると、その中には距離が少なくとも $\sqrt{2}$ である2点が含まれる。実際、1つの頂点に隣接する頂点は3つしかなく、3頂点をすべて互いに隣接させることはできないので、少なくとも面対角線以上に離れた2点が現れる。

2点間の距離が $\sqrt{2}$ 以上なら、その2点をともに球の内部に入れるには、球の半径は $\sqrt{2}/2$ より大きくなければならない。しかし $\rho <\frac{5}{8}<\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。したがって3頂点を球の内部に入れることは不可能である。よって最大個数は $2$ である。

(2)

まず5本が可能であることを示す。立方体を $0\leqq x,y,z\leqq 1$ と置き、球の中心を辺 $y=1,z=1,0\leqq x\leqq 1$ の中点 $\left(\frac{1}{2},1,1\right)$ に置く。この辺そのものは球の内部と共通点をもつ。また、この辺の両端から出る他の4本の辺については、中心からその端点までの距離が $\frac{1}{2}$ である。$\rho >1/2$ なので、これら4本の辺も球の内部と共通点をもつ。したがって合計5本は可能である。

次に6本以上は不可能であることを示す。球の中心が立方体の外にある場合、その点を立方体に最も近い点へ座標ごとに射影しても、立方体上の各点までの距離は増えない。したがって、6本の辺と交わる可能性を調べる上では、球の中心が立方体内にあるとしてよい。

さらに立方体の対称性により、球の中心を $(x,y,z)$ とし、$0\leqq x\leqq y\leqq z\leqq \frac{1}{2}$ としてよい。この点から12本の辺までの距離を考える。2つの固定座標がともに1である辺までの距離は少なくとも $\sqrt{(1/2{)}^2+(1/2{)}^2}>5/8$ である。また、対称性と $x\leqq y\leqq z$ から、6番目までに小さくなり得る距離の2乗は、次の6つに含まれる。

である。

もし6本の辺が球の内部と共通点をもつなら、中心からそれら6本の辺までの距離はすべて $\rho$ より小さい。$\rho <5/8$ なので、上の6つはすべて $(5/8{)}^2=25/64$ より小さくなければならない。

特に $y^2+z^2<\frac{25}{64}$ かつ $y^2+(1-z{)}^2<\frac{25}{64}$ である。これらを足すと $2y^2+z^2+(1-z{)}^2<\frac{25}{32}$ である。ところが $z^2+(1-z{)}^2=2{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\geqq \frac{1}{2}$ だから $2y^2<\frac{25}{32}-\frac{1}{2}=\frac{9}{32}$ となり、$y<\frac{3}{8}$ を得る。

一方、上の6つのうち $x^2+(1-y{)}^2<\frac{25}{64}$ も必要である。左辺は $(1-y{)}^2$ 以上なので $(1-y{)}^2<\frac{25}{64}$ であり、$0\leqq y\leqq 1/2$ より $1-y<\frac{5}{8}$ すなわち $y>\frac{3}{8}$ となる。これは $y<3/8$ と矛盾する。

したがって、6本以上の辺が球の内部と共通点をもつことは不可能である。5本は可能で、6本は不可能なので、求める最大本数は $5$ である。