大阪大学 2000年度理系数学第4問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して， $x$ を越えない最大の整数を $[x]$ で表す． $n$ を正の整数とし $a_{n} = k = 1 \sum n \frac{[ 2 n ^{2} - k ^{2} ]}{n ^{2}}$ とおく．このとき， $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

床関数は $y - 1 < [y] ≦ y$ で挟める。ここで $y = 2 n^{2} - k^{2} = n 2 - (k / n)^{2}$ とおくと、 $a_{n}$ は $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} 2 - (k / n)^{2}$ と誤差高々 $1/ n$ の範囲に入る。したがって極限はリーマン和 $\int_{0}^{1} 2 - x^{2} d x$ になる。最後に半径 $2$ の円の面積公式、または $x = 2 sin θ$ による計算で積分値を求める。

解答

任意の実数 $y$ に対して $y - 1 < [y] ≦ y$ が成り立つ。ここで $y = 2 n^{2} - k^{2} = n 2 - (\frac{k}{n})^{2}$ とおくと

n 2 - (\frac{k}{n})^{2} - 1 < [2 n^{2} - k^{2}] ≦ n 2 - (\frac{k}{n})^{2}

である。これを $n^{2}$ で割って $k = 1, 2, \dots, n$ について足し合わせると

\frac{1}{n} k = 1 \sum n 2 - (\frac{k}{n})^{2} - \frac{1}{n} < a_{n} ≦ \frac{1}{n} k = 1 \sum n 2 - (\frac{k}{n})^{2}

となる。

右端の和は、連続関数 $2 - x^{2}$ の区間 $[0, 1]$ におけるリーマン和である。したがって

\frac{1}{n} k = 1 \sum n 2 - (\frac{k}{n})^{2} \to \int_{0}^{1} 2 - x^{2} d x

である。また左右の差は $1/ n$ で0に近づくので、はさみうちにより $lim_{n \to \infty} a_{n} = \int_{0}^{1} 2 - x^{2} d x$ である。

この積分を計算する。 $x = 2 sin θ$ とおくと、 $x = 0$ のとき $θ = 0$ 、 $x = 1$ のとき $θ = π /4$ である。また $d x = 2 cos θ d θ, 2 - x^{2} = 2 cos θ$ だから

\int_{0}^{1} 2 - x^{2} d x = \int_{0}^{π /4} 2 cos^{2} θ d θ = \int_{0}^{π /4} (1 + cos 2 θ) d θ = [θ + \frac{1}{2} sin 2 θ]_{0}^{π /4} = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

である。

よって $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$ である。

大阪大学 2000年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

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理系数学第4問