問題
とする．円上の点における接線と軸との交点をとする．また，円の外部の点からこの円に2本の接線を引き，接点を，とする．このとき，2点，を通る直線はを通ることを示せ．
出典：大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
円 の接点 における接線は、半径ベクトル と接線方向が垂直であることから と表せる。まず与えられた接点での接線と 軸の交点 を求める。次に、外部点 からの任意の接点 は、その接線が を通るため を満たす。したがって2接点 は同じ直線 上にあり、その直線に が乗ることを確認する。
解答
円 上の点 を考える。接線上の点を とすると、接線方向のベクトルは であり、半径ベクトル と垂直である。したがって である。 は円上の点なので であり、接線の方程式は となる。
いま とおく。この点における接線は である。 軸との交点では だから より である。ここで なので、この値は定まる。
次に、外部の点 から円へ引いた接線の接点を とする。その接線の式は、上で求めた通り である。この接線は点 を通るので が成り立つ。すなわち接点 は直線 上にある。
したがって、2つの接点 はともに 上にある。点 をこの直線に代入すると であるから、 も同じ直線上にある。よって、2点 を通る直線は を通る。