問題
平面上の16個の点からなる集合
を考える．この集合から異なる3点を無作為に選ぶ試行において，次の事象の起こる確率を求めよ．
「選んだ3点が三角形の頂点となり，その三角形の面積はである」
出典：大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
全事象は16個の格子点から3点を選ぶ数である。三角形の面積 は、 の正方形内にできる三角形の最大面積である。最大面積になるには、正方形の一辺全体を底辺にし、残りの点がその反対側の辺上にある必要がある。この条件で、4つの辺それぞれを底辺にした場合を数え、3つの隅を選ぶ三角形が二重に数えられる分を除く。
解答
16個の点は正方形 の格子点である。異なる3点の選び方は 通りである。
次に、面積が となる三角形を数える。3頂点を とし、添字を付け替えて
とする。また
とおくと、、 である。三角形の符号付き面積の2倍は
である。 だから、正の係数の和と負の係数の絶対値の和はいずれも であり、
従って三角形の面積は 以下である。
等号 が成り立つには、まず 、すなわち が必要である。 なら、 のとき 、 のときは左右が逆となる。 なら で、 より下辺の両端を取る。 なら同様に上辺の両端を取る。従って等号の場合はちょうど「正方形の一辺の両端を取り、第3点を反対側の辺上に取る」形である。
例えば左辺 の両端を底辺に取ると、第3点は右辺 上の4点のいずれかである。
同じことが正方形の4つの辺について成り立つ。よって一見 通りである。ただし、正方形の4つの頂点のうち3つを選ぶ三角形は、隣り合う2辺のどちらを底辺と見るかで2回数えられている。このような三角形は 通りある。したがって、面積 の三角形の個数は である。
よって求める確率は である。