問題
座標空間において，
平面上にある半径，中心の円を
平面上にある半径，中心の円を
とする．また，空間内の点に対し，円上を動く点との距離の最小値を，円上を動く点との距離の最大値をとする．次の問いに答えよ．
(1) とおくとき，とをおよびで表せ．
(2) という条件を満たす点の範囲をとする．図形の体積を求めよ．
方針
点 の水平距離 と高さ だけで、円までの最短・最長距離が決まる。 への最短は水平距離 、 への最長は水平距離 を使う。(2)では 平面で焦点 、 をもつ楕円条件に変換し、 の半楕円を 軸まわりに回転する体積として を計算する。
解答
(1)
点 の 平面への射影と原点との距離を とする。円 は高さ の平面上で、中心の水平位置は原点、半径は である。したがって、水平面内で の射影から までの最短距離は である。高さの差は なので である。
同様に、円 は高さ にある。 上の点と の距離を最大にするには、水平面内で の射影と反対側の円周上の点を取ればよいので、水平距離は である。高さの差は だから である。
(2)
平面で点 を と見る。ただし である。(1)より と書ける。ただし である。この2点間の距離は である。
条件は である。もし なら、条件は 、すなわち を意味する。しかし三角形の辺の関係より であり、 なので不可能である。
したがって必ず であり、このとき条件は すなわち である。これは、焦点 、長半径 の楕円の内部および周上を表す。焦点間距離の半分は なので、短半径は である。
座標を とおくと、焦点は となる。したがって楕円は で表される。また であるから、実際に回転させる断面はこの楕円のうち の部分である。
体積は、 平面の断面を 軸のまわりに回転して で求められる。ここで は上の半楕円領域である。変換 の面積倍率は である。さらに とおくと、 であり、面積倍率は である。また で、条件は となる。
単位円を、直線 に垂直な軸で見る。 とおけば、半円は であり、 である。単位半円において
である。したがって
である。ゆえに体積は である。