大阪大学 1998年度理系数学第4問解答・解説

問題

平面上において，7点 $A, P, Q, R, S, R^{'}, S^{'}$ を右図のようにとる．ただし，

A P = a, P Q = b, QR = Q R^{'} = c, R S = R^{'} S^{'} = d,

∠ A P Q = ∠ S R Q = ∠ S^{'} R^{'} Q = α (0 ≦ α ≦ π)

∠ R QP = ∠ P Q R^{'} = β (0 ≦ β ≦ π)

である．このとき， $A S^{2} - A S^{'}^{2}$ を $sin α$ ， $sin β$ および $a, b, c, d$ を用いて表せ．

出典：大阪大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

図の上下を決めて座標を置き、 $P = (0, 0)$ 、 $Q = (b, 0)$ とする。 $A, R, R^{'}, S, S^{'}$ の座標を、与えられた長さと角 $α, β$ から三角関数で表す。 $A S^{2} - A S^{'2}$ は2つのベクトルの長さの2乗の差なので、展開後に対称な項が消えることを利用し、最後は加法定理で $sin α sin β$ の形に整理する。

解答

図の配置に合わせて、 $P = (0, 0)$ 、 $Q = (b, 0)$ とおく。また $A$ は $P Q$ の上側にあるとして $A = (a cos α, a sin α)$ とおく。

条件 $∠ R QP = ∠ P Q R^{'} = β$ より、 $R$ を下側、 $R^{'}$ を上側にとると $R = (b - c cos β, - c sin β),$ $R^{'} = (b - c cos β, c sin β)$ である。さらに $∠ S R Q = α$ 、 $∠ S^{'} R^{'} Q = α$ より $S = R + d (cos (α + β), sin (α + β))$ であり、 $S^{'} = R^{'} + d (cos (α - β), sin (α - β))$ である。

ここで $U = S - A, U^{'} = S^{'} - A$ とおく。 $A S^{2} - A S^{'2} = ∣ U ∣^{2} - ∣ U^{'} ∣^{2}$ である。成分を書き出すと

U = (b - c cos β + d cos (α + β) - a cos α, - c sin β + d sin (α + β) - a sin α)

であり、

U^{'} = (b - c cos β + d cos (α - β) - a cos α, c sin β + d sin (α - β) - a sin α)

である。

このまま展開してもよいが、差だけを取るため、共通部分をまとめる。 $W = (b - c cos β - a cos α, - a sin α)$ とおくと $U = W + (d cos (α + β), - c sin β + d sin (α + β))$ となる。対応する $U^{'}$ との差を展開すると、 $b, c, d$ の2乗項や余弦だけの項は打ち消し合い、残る項は $A S^{2} - A S^{'2} = 4 a c sin α sin β - 4 b d sin α sin β$ である。したがって $A S^{2} - A S^{'2} = 4 (a c - b d) sin α sin β$ である。

展開の要所を確認しておく。加法定理より $cos (α + β) - cos (α - β) = - 2 sin α sin β$ であり、 $sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β$ である。これらを使うと、 $A$ と $R, R^{'}$ の上下差から $4 a c sin α sin β$ 、 $Q$ から $S, S^{'}$ へ向かう部分から $- 4 b d sin α sin β$ が現れ、上の式にまとまる。

大阪大学 1998年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

大阪大学 1998年度
理系数学第4問