問題
を1以上の整数とする．次の整式とその導関数の間にという関係があるとする．ただし，は定数である．このとき，であることを示せ．
出典：大阪大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
まず が同じ微分関係式を満たすことを確認し、差 を作る。差は次数が 以下で、しかも同じ関係式 を満たす。もし が零でなければ、最高次項を比較すると次数が でなければならず、次数 以下であることと矛盾する。
解答
とおく。このとき であるから である。したがって も、与えられた関係式と同じ を満たす。
そこで とおく。 と はどちらも最高次係数が の 次式であるから、 は零多項式であるか、次数が 以下の多項式である。また、 と の関係式を引き算すると が成り立つ。
ここで が零多項式でないと仮定する。 の次数を とし、最高次の項を とする。すると左辺 の最高次の項は である。一方、 の最高次の項は なので、右辺 の最高次の項は である。
両辺が等しいためには、最高次の係数が等しくなければならない。すなわち である。 より を得る。しかし の次数は 以下だったので、これは矛盾である。したがって は零多項式である。
よって である。
別解。係数比較でも示せる。関係式を展開して の係数を比較すると、各係数は前の係数から順に決まり、 となる。これは の係数そのものである。ただし、この方法では添字計算が長くなるため、差を取って最高次項を比較する解法の方が簡潔である。