大阪大学 1998年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$t=x\log a$ とおく。$a>1$、$x\geqq 0$ なので $t\geqq 0$ である。また $a^x=e^t$ である。

まず下側の不等式を示す。$1$ と $e^t$ は正なので $1+e^t\geqq 2\sqrt{e^t}=2e^{t/2}$ である。両辺の対数をとると $\log (1+e^t)\geqq \log 2+\frac{t}{2}$ である。これは $\log 2+\frac{x}{2}\log a\leqq \log (1+a^x)$ を意味する。

次に上側を示す。 $F(t)=\log (1+e^t)-\log 2-\frac{t}{2}$ とおく。すると $F(0)=0$ であり、$F^{\prime }(t)=\frac{e^t}{1+e^t}-\frac{1}{2}$ なので $F^{\prime }(0)=0$ である。また $F^{\prime \prime }(t)=\frac{e^t}{(1+e^t{)}^2}$ である。ここで $(1+e^t{)}^2-4e^t=(e^t-1{)}^2\geqq 0$ より $0<F^{\prime \prime }(t)\leqq \frac{1}{4}$ である。 $t\geqq 0$ で、$F^{\prime }(0)=0$ だから $F^{\prime }(t)={\int }_0^t{F}^{\prime \prime }(u)du\leqq {\int }_0^t\frac{1}{4}du=\frac{t}{4}$ である。さらに $F(0)=0$ より $F(t)={\int }_0^t{F}^{\prime }(v)dv\leqq {\int }_0^t\frac{v}{4}dv=\frac{t^2}{8}$ である。したがって $\log (1+e^t)\leqq \log 2+\frac{t}{2}+\frac{t^2}{8}$ である。$t=x\log a$ を戻すと $\log (1+a^x)\leqq \log 2+\frac{x}{2}\log a+\frac{x^2}{8}(\log a{)}^2$ であり、求める不等式が示された。

(2)

(1)で $a=3$、$x=1/n$ とする。すると

である。各辺から $\log 2$ を引くと

である。

ここで $\log a_n=n\log \left(\frac{1+3^{1/n}}{2}\right)$ だから、上の不等式に $n$ をかけて

を得る。右端と左端は $n\to \infty$ でともに $\log 3/2$ に近づくので、はさみうちにより ${\lim }_{n\to \infty }\log a_n=\frac{\log 3}{2}$ である。指数関数は連続なので ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=e^{(\log 3)/2}=\sqrt{3}$ である。