大阪大学 1995年度理系数学第5問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して図形 $T_{n}$ を以下のように順に定義する．まず $T_{1}$ は，3つの点を2つの長さ1の線分で図1のように結んで定義する．一般に図形 $T_{n + 1}$ は図形 $T_{n}$ を2つと点を1つ用意し，その点と $T_{n}$ の一番上の点を長さ1の線分で結ぶことにより，図2のように定義する．たとえば $T_{3}$ は図3のようになる． $T_{n}$ を通信回路と考える．隣接する2つの点を結ぶ長さ1の通信路が故障しているかどうかは互いに独立であって，その確率はすべて $p$ であるとする． $T_{n}$ の一番上の点を $O$ ，一番下の $2^{n}$ 個の点の集合を $A_{n}$ で表す． $O$ から $A_{n}$ のどの点へも通信できない確率を $p_{n}$ とする．

(1) $p_{n}$ と $p_{n + 1}$ の関係式を求めよ．

(2) $1 - p_{n + 1} ≦ 2 (1 - p) (1 - p_{n})$ となることを示せ．

(3) $p > \frac{1}{2}$ のとき， $n \to \infty lim p_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$T_{n + 1}$ は、新しい上の点から2つの $T_{n}$ へ向かう2本の枝を持つ構造である。1本の枝が下端集合へ通じないのは、接続する通信路が故障する場合、または通信路は生きているがその先の $T_{n}$ 内で下端へ通じない場合である。この1枝の失敗確率を作り、左右の独立性で二乗する。(3)は $q_{n} = 1 - p_{n}$ として、成功確率が等比的に小さくなることを示す。

解答

(1)

$T_{n + 1}$ は、新しい一番上の点から、左右2つの $T_{n}$ の一番上の点へそれぞれ1本ずつ通信路をつないだ形である。

片方の $T_{n}$ へ向かう枝について考える。この枝を通って下端集合へ通信できないのは、次のいずれかの場合である。 $接続する通信路が故障している$ または $接続する通信路は故障していないが、その先の T_{n} で下端へ通信できない$ である。したがって、片方の枝が失敗する確率は $p + (1 - p) p_{n}$ である。

左右2つの枝に関する故障は互いに独立であり、 $O$ から $A_{n + 1}$ のどの点へも通信できないためには左右両方の枝が失敗する必要がある。よって $p_{n + 1} = {p + (1 - p) p_{n}}^{2}$ である。

(2)

(1)の式を $p + (1 - p) p_{n} = 1 - (1 - p) (1 - p_{n})$ と書き直すと $p_{n + 1} = {1 - (1 - p) (1 - p_{n})}^{2}$ である。したがって $1 - p_{n + 1} = 1 - {1 - (1 - p) (1 - p_{n})}^{2}$ である。 $r = (1 - p) (1 - p_{n})$ とおくと、 $0 ≦ r ≦ 1$ であり $1 - p_{n + 1} = 1 - (1 - r)^{2} = 2 r - r^{2}$ である。よって $1 - p_{n + 1} = 2 (1 - p) (1 - p_{n}) - (1 - p)^{2} (1 - p_{n})^{2} ≦ 2 (1 - p) (1 - p_{n})$ が成り立つ。

(3)

$q_{n} = 1 - p_{n}$ とおく。これは $O$ から $A_{n}$ の少なくとも1点へ通信できる確率である。(2)より $0 ≦ q_{n + 1} ≦ 2 (1 - p) q_{n}$ である。

いま $p > 1/2$ だから $0 < 2 (1 - p) < 1$ である。したがって帰納的に $0 ≦ q_{n} ≦ {2 (1 - p)}^{n - 1} q_{1}$ が成り立つ。右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づくので $q_{n} \to 0$ である。

よって $lim_{n \to \infty} p_{n} = lim_{n \to \infty} (1 - q_{n}) = 1$ である。

大阪大学 1995年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1995年度
理系数学第5問