大阪大学 1995年度理系数学第3問解答・解説

問題

正の実数 $a$ に対して， $f (x) = a lo g x + 1$ とおく．点 $(- a, 0)$ から曲線 $y = f (x)$ に接線をひき，接点の $x$ 座標を $x_{0}$ とする．曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸と直線 $x = x_{0}$ によって囲まれる部分の面積を $S (a)$ で表す．

(1) $S (a)$ を求めよ．

(2) $\frac{S ( a )}{a ^{2}}$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

接点を $x = x_{0}$ とし、接線の傾き $a / x_{0}$ と点 $(- a, 0)$ を通る条件を等式にする。この接線条件は面積積分の上端代入部分と同じ形になるので、 $x_{0}$ を明示的に解かずに消去する。(2)では $u = 1/ a$ と置き、 $u e^{- u}$ の最大値を求める。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $x_{0}$ とする。 $f^{'} (x) = a / x$ であるから、接線の傾きは $\frac{a}{x _{0}}$ である。一方、この接線は点 $(- a, 0)$ と接点 $(x_{0}, a lo g x_{0} + 1)$ を通るので、その傾きは $\frac{a l o g x _{0} + 1}{x _{0} + a}$ である。よって $\frac{a}{x _{0}} = \frac{a l o g x _{0} + 1}{x _{0} + a}$ である。

これを整理すると $a (x_{0} + a) = x_{0} (a lo g x_{0} + 1)$ すなわち $a x_{0} lo g x_{0} - a x_{0} + x_{0} = a^{2}$ を得る。

曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸の交点は $a lo g x + 1 = 0$ より $x = e^{- 1/ a}$ である。したがって、囲まれる部分の面積は $S (a) = \int_{e^{- 1/ a}}^{x_{0}} (a lo g x + 1) d x$ である。

ここで $\int (a lo g x + 1) d x = a x lo g x - a x + x$ だから

S (a) = a x_{0} lo g x_{0} - a x_{0} + x_{0} - {a e^{- 1/ a} lo g (e^{- 1/ a}) - a e^{- 1/ a} + e^{- 1/ a}}

である。 $lo g (e^{- 1/ a}) = - 1/ a$ より、下端の値は $- e^{- 1/ a} - a e^{- 1/ a} + e^{- 1/ a} = - a e^{- 1/ a}$ である。また接線条件から、上端の値は $a^{2}$ である。したがって $S (a) = a^{2} + a e^{- 1/ a}$ である。

(2)

(1)より $\frac{S ( a )}{a ^{2}} = 1 + \frac{e ^{- 1/ a}}{a}$ である。 $u = 1/ a$ とおくと、 $a > 0$ より $u > 0$ であり、最大化すべき部分は $u e^{- u}$ である。

微分すると $\frac{d}{d u} (u e^{- u}) = e^{- u} (1 - u)$ である。よって $0 < u < 1$ で増加し、 $u > 1$ で減少するから、最大は $u = 1$ のときである。このとき $u e^{- u} = \frac{1}{e}$ である。

したがって求める最大値は $1 + \frac{1}{e}$ である。

別解。(2)の最大化は不等式でも示せる。関数 $lo g u - u$ は $u = 1$ で最大値 $- 1$ をとるので、 $u > 0$ に対して $lo g u - u ≦ - 1$ である。両辺を指数に戻すと $u e^{- u} ≦ e^{- 1}$ であり、等号は $u = 1$ 、すなわち $a = 1$ のときに成り立つ。よって最大値は同じく $1 + 1/ e$ である。

大阪大学 1995年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1995年度
理系数学第3問