大阪大学 1995年度
理系数学 第1問

解答

(1)

だ円 $A$ 上の点は $(x,y)=(2X,Y),X^2+Y^2=1$ と表せる。また、だ円 $B$ 上の点は $(x,y)=(X,2Y),X^2+Y^2=1$ と表せる。

したがって、だ円 $A$ をだ円 $B$ に移す1次変換は、単位円上で長さと直交を保つ変換をはさんで

と表される。ここで $R$ は単位円を単位円に移す1次変換であり、回転または反転である。

点 $(2,0)$ は、単位円側では $(1,0)$ に対応する。これが $(\cos \theta ,2\sin \theta )$ に移るためには、$R$ の第1列が

でなければならない。したがって第2列は、これに直交する単位ベクトルとして

の2通りである。

よって求める行列は

または

である。

(2)

(1)の2通りの行列を考える。$(2,0)$ が移る点はどちらの場合も $P=(\cos \theta ,2\sin \theta )$ である。一方、$(0,1)$ が移る点 $Q$ は $Q=(-\sin \theta ,2\cos \theta )$ または $Q=(\sin \theta ,-2\cos \theta )$ である。

それぞれの内積は $P\cdot Q=3\sin \theta \cos \theta$ または $P\cdot Q=-3\sin \theta \cos \theta$ である。$\angle POQ$ を最小にするには、$\cos \angle POQ$ を最大にすればよいので、符号の選択により内積を $3|\sin \theta \cos \theta |$ にできる。

また

である。したがって

である。 $u={\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$ とおくと、$0\leqq u\leqq 1/4$ であり、分母は

である。ここで ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {)}^2-2u=1-2u$ だから、分母は $4+9u$ となる。よって ${\cos }^2\angle POQ=\frac{9u}{4+9u}$ である。これは $u$ が大きいほど大きいので、最大は $u=\frac{1}{4}$ のときである。

したがって ${\cos }^2\angle POQ=\frac{9/4}{4+9/4}=\frac{9}{25}$ であり、角は最小なので余弦は正として $\cos \angle POQ=\frac{3}{5}$ である。