問題
とおき，曲線を考える．1辺の長さの正三角形は最初，辺の中点が曲線上の点に一致し，がに接し，さらにがの範囲にあるようにおかれている．ついで，が曲線に接しながら滑ることなく右に傾いてゆく．最初の状態から，点が初めて曲線上にくるまでの間，点の座標が一定であるように，を定めよ．
出典：大阪大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
接点の 座標を とし、、 と置く。すると曲線上の点は 、接線方向の単位ベクトルと上向き法線方向の単位ベクトルが簡単に書ける。滑らない条件により、辺 上で接点が中点から動いた距離は曲線の弧長 に等しい。点 の高さを で表し、これが一定となる条件を求める。
解答
接点の 座標を とする。曲線は である。以下 とおく。このとき接点は であり、また である。
微分すると である。したがって、右向きの接線方向の単位ベクトルは であり、上向きの単位法線ベクトルは である。
次に、滑らない条件を長さで表す。 から までの曲線の長さは
である。滑ることなく転がるので、接点は辺 上で、初めの中点 から距離 だけ動いた位置にある。
正三角形の高さを とおく。接点から中点 へ向かう向きは、接線方向と反対向きで距離 であるから、その 成分の増加は である。また から へは上向き法線方向に距離 だけ進むので、その 成分の増加は である。
したがって点 の 座標は である。最初の状態は で だから、この値は である。
点 が初めて曲線上にくるまでの間、 は から正の範囲を動き、 は一定ではない。よって が一定であるためには が必要である。また なら上の式は常に なので、これは十分でもある。
したがって より である。