大阪大学 1994年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$f (x)$ ， $g (x)$ は $x ≧ 0$ で定義された正の値をとる連続な関数で， $x > 0$ で微分可能であるとする．それらの定める曲線を

C_{1} : y = f (x) (x ≧ 0), C_{2} : y = g (x) (x ≧ 0)

とするとき，以下の性質が満たされるという．

（イ） $f (x)$ は $x ≧ 0$ において増加な関数で， $f (0) = 1$ を満たす．

（ロ） $f (x) g (x)^{3} = 27$ $(x ≧ 0)$

（ハ）すべての $x > 0$ に対して，平面上の点 $(x, f (x))$ における曲線 $C_{1}$ の接線と，点 $(x, g (x))$ における曲線 $C_{2}$ の接線は直交する．

次の問に答えよ．

(1) $f (x)$ を求めよ．

(2) 曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ および $y$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：大阪大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

積の関係から $g$ を $f$ で表し、微分して接線の直交条件 $f^{'} g^{'} = - 1$ に代入する。 $f$ が増加であることから導関数の符号を選び、初期条件で $f$ を決める。面積は交点まで $g - f$ を積分する。

$f (x) g (x)^{3} = 27$ かつ両者は正だから

g (x) = 3 f (x)^{- 1/3}

である。微分して $g^{'} (x) = - f^{'} (x) f (x)^{- 4/3}$ を得る。接線が直交するので $f^{'} (x) g^{'} (x) = - 1$ 、したがって

{f^{'} (x)}^{2} = f (x)^{4/3} .

$f$ は増加関数であり右辺は正だから $f^{'} (x) = f (x)^{2/3}$ である。よって

\frac{d}{d x} {3 f (x)^{1/3}} = 1.

$f (0) = 1$ を用いると

f (x) = \frac{( x + 3 ) ^{3}}{27}, g (x) = \frac{9}{x + 3} .

交点では $(x + 3)^{4} = 243$ だから $x = 3^{5/4} - 3$ である。 $x = 0$ では $g > f$ なので、面積は

\int_{0}^{3^{5/4} - 3} {\frac{9}{x + 3} - \frac{( x + 3 ) ^{3}}{27}} d x = 9 lo g \frac{3 ^{5/4}}{3} - \frac{( 3 ^{5/4} ) ^{4} - 3 ^{4}}{108} = \frac{9}{4} lo g 3 - \frac{3}{2} .