大阪大学 1994年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は，以下の条件を満たすものとする．

（イ） $a_{1} = 1$

（ロ） $a_{n}$ が有理数のとき， $a_{n + 1} = \frac{2}{2} a_{n}$

（ハ） $a_{n}$ が無理数のとき， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - (\frac{2}{2})^{n}$

次の問に答えよ．ただし， $2$ が無理数であることは証明なしに用いてよい．

(1) $b_{m} = a_{2 m - 1}$ $(m = 1, 2, \dots\dots)$ とするとき， $b_{m}$ を求めよ．

(2) $n = 1 \sum \infty a_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

奇数番目が有理数、偶数番目が無理数になることを確認する。 $b_{m} = a_{2 m - 1}$ とおくと2段階の規則が $b_{m + 1} = b_{m} - 2^{- m}$ にまとまるので、等比数列の和を用いる。最後に奇数番目・偶数番目を別々に総和する。

$a_{1} = 1$ は有理数なので $a_{2} = 2 /2$ は無理数である。一般に $a_{2 m - 1} = b_{m}$ が正の有理数なら

a_{2 m} = \frac{2}{2} b_{m}

は無理数であり、次に

a_{2 m + 1} = 2 a_{2 m} - (\frac{2}{2})^{2 m} = b_{m} - \frac{1}{2 ^{m}}

は有理数である。よってこの交代は帰納的に続き、

b_{m + 1} = b_{m} - \frac{1}{2 ^{m}}, b_{1} = 1

を得る。したがって

b_{m} = 1 - k = 1 \sum m - 1 \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2 ^{m - 1}} .

(1)より

a_{2 m - 1} = \frac{1}{2 ^{m - 1}}, a_{2 m} = \frac{2}{2 ^{m}}

である。よって

n = 1 \sum \infty a_{n} = m = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{m - 1}} + m = 1 \sum \infty \frac{2}{2 ^{m}} = 2 + 2 .