大阪大学 1994年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$a$ を正数， $b$ を実数とし

f (x) = lo g x (1 - x) - a x (1 - x) + b (0 < x < 1)

とおく．

(1) $f (x)$ の区間 $0 < x < 1$ における最大値を求めよ．

(2) $f (x) = 0$ が区間 $0 < x < 1$ における相異なる4個の解をもつために， $a$ ， $b$ が満たすべき条件を求めよ．また，この条件を満たす点 $(a, b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ．

出典：大阪大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(u=x $1 - x$ ) と置くと $0 < u ≦ 1/4$ で、 $u < 1/4$ の値には2つの $x$ が対応する。(h $u$ =log u-au+b) の増減から最大値を求め、4解条件を「(h $u$ =0) が $0 < u < 1/4$ に2根」と読み替える。

解答

$u = x (1 - x)$ とおくと $0 < u ≦ 1/4$ であり、

f (x) = h (u) = lo g u - a u + b

と書ける。また $0 < u < 1/4$ の各 $u$ には、区間 $0 < x < 1$ の異なる2つの $x$ が対応する。

(1)

$h^{'} (u) = 1/ u - a$ である。 $0 < a ≦ 4$ のときは $0 < u ≦ 1/4$ で $h^{'} (u) ≧ 0$ だから、最大値は

h (1/4) = b - lo g 4 - \frac{a}{4}

である。 $a > 4$ のときは $u = 1/ a$ で最大となり、その値は

h (1/ a) = b - lo g a - 1

である。

(2)

$f (x) = 0$ が相異なる4解をもつためには、 $h (u) = 0$ が $0 < u < 1/4$ に相異なる2根をもつことが必要十分である。 $h (u) \to - \infty (u \to 0 +)$ であり、 $h^{''} (u) = - 1/ u^{2} < 0$ だから、これは最大点が区間内部にあり、最大値が正、右端の値が負であることと同値である。

したがって

a > 4, b - lo g a - 1 > 0, b - lo g 4 - \frac{a}{4} < 0

すなわち

a > 4, 1 + lo g a < b < \frac{a}{4} + lo g 4

である。 $a > 4$ では下側の境界が上側より小さい。よって図示する領域は、直線 $a = 4$ の右側で、曲線 $b = 1 + lo g a$ の上、直線 $b = a /4 + lo g 4$ の下の開領域であり、境界はいずれも含まない。

大阪大学 1994年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1994年度
後期・理系数学後期第3問