大阪大学 1994年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $K : x^{2} + 2 b x y + 2 y^{2} = 1$ を，原点を中心として反時計回りに $θ$ だけ回転して得られる曲線の方程式を $A x^{2} + 2 B x y + C y^{2} = 1$ とする．ただし， $- \frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ とする．
次の問に答えよ．

(1) $B = 0$ となるとき， $tan 2 θ$ の値を $b$ を用いて表せ．

(2) $K$ が，楕円となるような $b$ の値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

二次形式の係数を回転公式で変換して交差項 $B$ を求める。(2)は回転しても楕円かどうかは変わらないので、 $x$ について平方完成し、正定値となる条件を調べる。

解答

(1)

回転後の点を ( $x, y$ ) とすると、回転前の座標は

(x cos θ + y sin θ, - x sin θ + y cos θ)

である。これをもとの式に代入したときの $x y$ の係数を整理すると

2 B = 2 b cos 2 θ - sin 2 θ

である。したがって $B = 0$ なら

tan 2 θ = 2 b

である。

(2)

x^{2} + 2 b x y + 2 y^{2} = (x + b y)^{2} + (2 - b^{2}) y^{2}

である。これが楕円を表すための必要十分条件は、左辺が ( $x, y$ ≠(0,0)) に対して常に正となることである。したがって

2 - b^{2} > 0

が必要十分であり、求める範囲は

- 2 < b < 2

である。

大阪大学 1994年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1994年度
後期・理系数学後期第2問