大阪大学 1993年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

表の出る確率が $p$ $(0 < p < 1)$ の硬貨を2回投げる．このとき1回目に表が出たら $X_{1} = 1$ ，裏が出たら $X_{1} = 0$ ，2回目に表が出たら $X_{2} = 1$ ，裏が出たら $X_{2} = 0$ とすることにより，確率変数 $X_{1}$ と $X_{2}$ とを定義する．
$a$ ， $b$ ， $c$ を $p$ に無関係な定数とするとき，次の問に答えよ．

(1) 確率変数 $Y = a X_{1} + b X_{2} + c X_{1} X_{2}$ の期待値（平均値） $E (Y)$ を求めよ．

(2) すべての $p$ に対して $E (Y) = p$ を満たし，しかも $Y$ の分散 $V (Y)$ を最小にするように，定数 $a$ ， $b$ ， $c$ を定めよ．

出典：大阪大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

4通りの表裏で $Y$ の値を求めて期待値を $p$ の多項式にする。恒等式条件から係数を決め、独立なベルヌーイ変数の分散の和として $a^{2} + b^{2}$ を最小化する。

解答

(1)

$X_{1}, X_{2}$ は独立で、それぞれ期待値 $p$ 、また $E (X_{1} X_{2}) = p^{2}$ である。従って

E (Y) = (a + b) p + c p^{2} .

(2)

すべての $p$ で $E (Y) = p$ となる条件は

a + b = 1, c = 0.

このとき $Y = a X_{1} + b X_{2}$ であり、独立性から

V (Y) = a^{2} p (1 - p) + b^{2} p (1 - p) = p (1 - p) (a^{2} + b^{2}) .

$a + b = 1$ のもとで

a^{2} + b^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a - b)^{2} ≧ \frac{1}{2} .

等号は $a = b = 1/2$ のときである。従って

a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}, c = 0.

大阪大学 1993年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1993年度
後期・理系数学後期第4問