大阪大学 1993年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2つの数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ は，条件

（イ） $k = 1 \sum 2 n (- 1)^{k - 1} a_{k} = l = 1 \sum n \frac{b _{l}}{n + l}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$

（ロ） $0 < a_{n} ≦ \frac{1}{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$

（ハ） $b_{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ は正の整数

を満たすものとする．
次の問に答えよ．

(1) $b_{1} = 1$ を示せ．

(2) $b_{n}$ $(n = 2, 3, \dots\dots)$ を求めよ．

(3) さらに ${a_{n}}$ が $a_{2 n} = \frac{1}{2} a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ を満たすとき， $a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ を求めよ．

出典：大阪大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

右辺を $R_{n}$ と置き、左辺の隣接差 $a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ の厳密な上下界を使う。正整数 $b_{n}$ を帰納的に1へ絞る。(3)は追加条件と隣接差から奇数項・偶数項を帰納的に決める。

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k - 1} a_{k}$ とおく。

$S_{1} = a_{1} - a_{2} = b_{1} /2$ である。 $0 < a_{1} ≦ 1, 0 < a_{2} ≦ 1/2$ より $0 < S_{1} < 1$ だから、正整数 $b_{1}$ は

b_{1} = 1

である。

$b_{1} = \dots = b_{n - 1} = 1$ と仮定する。条件(イ)から

S_{n - 1} = j = n \sum 2 n - 2 \frac{1}{j}, S_{n} = j = n + 1 \sum 2 n - 1 \frac{1}{j} + \frac{b _{n}}{2 n} .

従って

a_{2 n - 1} - a_{2 n} = S_{n} - S_{n - 1} = \frac{b _{n}}{2 n} - \frac{n - 1}{n ( 2 n - 1 )} .

一方、条件(ロ)より

- \frac{1}{2 n} < a_{2 n - 1} - a_{2 n} < \frac{1}{2 n - 1} .

これらを比べると

- \frac{1}{2 n - 1} < b_{n} < 2.

$b_{n}$ は正整数だから $b_{n} = 1$ である。帰納法により

b_{n} = 1 (n = 1, 2, \dots) .

$a_{2} = a_{1} /2$ と $a_{1} - a_{2} = 1/2$ より $a_{1} = 1$ である。(2)の差の式で $b_{n} = 1$ とすると

a_{2 n - 1} - a_{2 n} = \frac{1}{2 n ( 2 n - 1 )} .

追加条件 $a_{2 n} = a_{n} /2$ を用いる。 $a_{n} = 1/ n$ と仮定すれば

a_{2 n} = \frac{1}{2 n}, a_{2 n - 1} = \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n ( 2 n - 1 )} = \frac{1}{2 n - 1} .

初項から帰納的にすべての項が決まるので

a_{n} = \frac{1}{n} (n = 1, 2, \dots) .