大阪大学 1993年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

1辺の長さ1の正方形 $A B C D$ を底面とする四角錐 $E A B C D$ の4つの側面 $E A B$ ， $E B C$ ， $E C D$ ， $E D A$ がいずれも正三角形であるとする．
辺 $A D$ の中点を $M$ ，辺 $B C$ の中点を $N$ とする．辺 $A E$ 上に $A$ ， $E$ と異なる点 $P$ をとり，3点 $M$ ， $N$ ， $P$ を通る平面でこの四角錐を切るとき，切断面としてできる等脚台形の面積を $S$ とする． $A P$ の長さを $x$ とするとき，次の問に答えよ．

(1) $M P$ の長さを $x$ を用いて表せ．

(2) $S$ を $x$ を用いて表せ．

(3) $S$ を最小にする $x$ の値，およびそのときの $S$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

四角錐を座標化し、切断平面が底辺 $M N$ に平行な方向を含むことから、 $A E, B E$ 上の同じ比の2点が上底になる。台形の高さを脚の長さから求めて面積を一変数化する。

解答

底面を $z = 0$ に置き

A = (- 1/2, - 1/2, 0), B = (1/2, - 1/2, 0), C = (1/2, 1/2, 0), D = (- 1/2, 1/2, 0)

とする。4本の側辺は長さ1なので $E = (0, 0, 1/ 2)$ と置ける。また

M = (- 1/2, 0, 0), N = (1/2, 0, 0) .

$A P = x$ かつ $A E = 1$ より

P = (\frac{x - 1}{2}, \frac{x - 1}{2}, \frac{x}{2}) .

(1)

M P^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{( x - 1 ) ^{2}}{4} + \frac{x ^{2}}{2} = x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} .

従って

M P = \frac{1}{2} 4 x^{2} - 2 x + 1 .

(2)

切断平面は $M N$ 方向を含むため、辺 $B E$ 上で $B Q = x$ となる点 $Q$ も通る。上底 $P Q$ は $M N$ と平行で

M N = 1, P Q = 1 - x .

台形の高さを $h$ とすると、脚 $M P$ の底辺方向成分が $x /2$ だから

h^{2} = M P^{2} - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{3 x ^{2} - 2 x + 1}{4} .

よって

S = \frac{M N + P Q}{2} h = \frac{2 - x}{4} 3 x^{2} - 2 x + 1 .

(3)

$0 < x < 1$ である。 $16 S^{2} = (2 - x)^{2} (3 x^{2} - 2 x + 1)$ を微分すると

\frac{d}{d x} (16 S^{2}) = - 6 (2 - x) (2 x - 1) (x - 1) .

従って $x = 1/2$ で最小となり、

S_{m i n} = \frac{3 3}{16} .

大阪大学 1993年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1993年度
後期・理系数学後期第2問