問題
2つの曲線
は，次の3条件（イ），（ロ），（ハ）を満たすものとする．
（イ） において，は正の値をとる．
（ロ） 曲線上の点におけるの接線と軸との交点をとするとき，線分の中点はつねに曲線の上にある．
（ハ） 曲線は点を通る．
を正の数とする．曲線，軸，直線および直線で囲まれる部分の面積をとし，曲線，軸，直線および直線で囲まれる部分の面積をとする．このとき，どのような正の数に対しても，つねにが成り立つという．
関数 を求めよ．
出典：大阪大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
接点を として接線の 切片を求め、中点条件から を で表す。面積恒等式を で微分し、得られる微分関係を初期条件で解く。
解答
曲線 上の接点を とする。接線の 軸との交点は
だから、その中点が 上にある条件は
のとき面積条件は
である。 でも両辺の積分の向きをそろえれば同じ等式になる。これを で微分して
(1)を代入すると
従って
よって であり、 から
を得る。