大阪大学 1993年度
文系数学 第4問

解答

(1)

$AB$ の中点を $O$ とする。点 $P$ について，$\angle APB=90^{\circ }$ となる点全体は $AB$ を直径とする球面である。これは，$(PA{)}^2+(PB{)}^2=(AB{)}^2$ が直角の条件であり，$AB=2$ だから中心 $O$，半径1の球面になることから分かる。

したがって $\angle APB>90^{\circ }$ となる点全体 $S$ は，中心 $O$，半径1の球の内部である。境界上では角が直角になるので含まれない。

(2)

面 $ABC$ 上で $O$ を原点，$AB$ を $x$ 軸にとり，$A(-1,0),B(1,0),C(0,\sqrt{3})$ とおく。この面で $S$ と交わる部分は，円 $x^2+y^2<1$ と正三角形 $ABC$ の共通部分である。面積には境界の開閉は影響しないので，以下では等号を含めて計算する。

円は辺 $AC$，$BC$ とそれぞれの中点で交わる。これらを $E,F$ とすると

である。求める図形は，台形 $ABFE$ と，弦 $EF$ の上側にある円弧部分を合わせたものである。

台形 $ABFE$ の面積は，上底 $EF=1$，下底 $AB=2$，高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\frac{1+2}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。また，扇形 $EOF$ の中心角は $60^{\circ }$ だから，扇形の面積は $\frac{\pi }{6}$，三角形 $EOF$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。したがって弦 $EF$ の上側の円弧部分の面積は $\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。

よって，$△ABC$ と $S$ の交わりの面積は

である。

(3)

面 $ABC$ と面 $ABD$ はどちらも $AB$ を含むので，(2) と同じ面積 $\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ をもつ。

次に，面 $ACD$ を考える。$O$ から面 $ACD$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。頂点 $B$ から面 $ACD$ までの距離は，1辺2の正四面体の高さ $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ である。$O$ は $AB$ の中点で，$A$ は面 $ACD$ 上にあるから，$O$ から面 $ACD$ までの距離はその半分で $OH=\frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

したがって，中心 $O$，半径1の球を面 $ACD$ で切った円の半径は $r=\sqrt{1-O{H}^2}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。また $AO=1$ なので $AH=\sqrt{A{O}^2-O{H}^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=r$ である。この断面円は辺 $AC$，$AD$ の中点を通る。これらを $E,F$ とすると，面 $ACD$ 上で求める部分は，扇形 $EHF$ と2つの三角形 $AHE$，$AHF$ からなる。

ここで $\angle EHF=120^{\circ }$，かつ $AH=HE=HF=r$ であるから，$\text{扇形 }EHF\text{ の面積}=\frac{1}{2}{r}^2\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{9}$ であり，

である。よって，面 $ACD$ に現れる面積は $\frac{\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{6}$ である。面 $BCD$ でも同じである。

以上より，正四面体の表面と $S$ の交わりの面積は

である。