問題
点を通り曲線に接する直線がちょうど2本存在するとき，実数の値および2本の接線の方程式を求めよ．
出典：大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
接点の 座標を とおき，その接線が を通る条件を の3次方程式にする。接線がちょうど2本になるには，この3次方程式の相異なる解が2個になる必要があるので，重解条件 を調べる。得られた について実際に接点と接線を求め，重解から出る接線と残りの接線が異なることまで確認する。
解答
曲線を とおく。接点の 座標を とすると，接点は ，接線の傾きは である。したがって接線の方程式は である。
この直線が を通る条件は である。これに ， を代入すると となる。すなわち，接点の候補は の解である。
接線がちょうど2本存在するためには，この3次方程式が相異なる解をちょうど2個もつ必要がある。したがって重解をもつ必要がある。微分すると である。 なので，重解は ではない。よって重解は でなければならない。これを に代入すると
である。したがって より を得る。
逆に のとき， であるから，接点の 座標は の2種類である。 のとき，接点は ，傾きは なので，接線は である。 のとき，接点の 座標は であり，傾きは
である。よって接線は すなわち である。
以上より， であり，2本の接線は である。