大阪大学 1993年度文系数学第2問解答・解説

問題

$A$ を行列 $(11 - 1 1)$ とする．

(1) $A^{4}$ を求めよ．

(2) 自然数 $n$ に対して， $k = 1 \sum 4 n A^{k}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1993年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

まず $A^{2}$ を直接計算し，そこから $A^{4} = - 4 E$ を得る。第2問では $4$ 乗ごとに $(- 4)$ 倍されることを利用し， $A + A^{2} + A^{3} + A^{4}$ を先に求めてから等比数列の和を掛ける。別解として， $A$ が複素数の $1 + i$ 倍に対応することを用いると， $(1 + i)^{4} = - 4$ から同じ周期構造が見える。

解答

(1)

直接計算すると

A^{2} = (11 - 1 1) (11 - 1 1) = (02 - 2 0)

である。したがって

A^{4} = (A^{2})^{2} = (02 - 2 0)^{2} = (- 4 0 0 - 4) = - 4 E

を得る。

(2)

(1)より $A^{4} = - 4 E$ であるから，任意の整数 $j ≧ 0$ と $r = 1, 2, 3, 4$ に対して $A^{4 j + r} = A^{4 j} A^{r} = (- 4)^{j} A^{r}$ である。よって， $4$ 項ずつまとめると

k = 1 \sum 4 n A^{k} = j = 0 \sum n - 1 (A^{4 j + 1} + A^{4 j + 2} + A^{4 j + 3} + A^{4 j + 4})

$= {1 + (- 4) + \dots + (- 4)^{n - 1}} (A + A^{2} + A^{3} + A^{4})$ となる。

ここで

A^{3} = A^{2} A = (- 2 2 - 2 - 2)

であるから，

A + A^{2} + A^{3} + A^{4} = (- 5 5 - 5 - 5)

である。また $1 + (- 4) + \dots + (- 4)^{n - 1} = \frac{1 - ( - 4 ) ^{n}}{1 - ( - 4 )} = \frac{1 - ( - 4 ) ^{n}}{5}$ である。したがって

k = 1 \sum 4 n A^{k} = (1 - (- 4)^{n}) (- 1 1 - 1 - 1)

である。

別解。列ベクトル $(x, y)$ に $A$ をかけると $(x - y, x + y)$ になる。これを複素数 $z = x + y i$ で表すと， $z$ を $(1 + i) z$ に移す操作に対応している。したがって $A^{k}$ は $(1 + i)^{k}$ 倍に対応する。特に $(1 + i)^{4} = - 4$ であるから， $4$ 項ごとのまとまりは上と同じく $(- 4)^{j}$ 倍される。また $(1 + i) + (1 + i)^{2} + (1 + i)^{3} + (1 + i)^{4} = - 5 + 5 i$ であり，これに対応する行列は

(- 5 5 - 5 - 5)

である。よって同じ計算により

k = 1 \sum 4 n A^{k} = (1 - (- 4)^{n}) (- 1 1 - 1 - 1)

を得る。

大阪大学 1993年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1993年度
文系数学第2問