問題
平面上の帯状領域内を点が次のような運動をする．
（イ） の内部においては直進する．
（ロ） の境界上においては図のように等しい角度で反射する．
を負でない整数，とする．原点から傾きで右方向に出発した点が回目と回目の反射の間で線分 を通過するためのの範囲をで表せ．
方針
反射のたびに向きを変えて追うのではなく，帯を上下に折り返して並べ，点の運動を展開平面上の直線 として扱う。反射前の では実際の 座標が そのものなので別に処理する。 では， の偶奇によって実際の座標が または になることを確認し，線分 ， 上の点を通る条件から の範囲を読み取る。最後に，得た点が本当に 回目と 回目の反射の間にあることを，展開後の の範囲で確認する。
解答
反射をそのまま追う代わりに，境界で折り返される帯を上下に展開する。展開した平面の縦座標を とすると，原点から傾き で出発した点の道筋は で表される。
反射は で起こる。したがって，反射前，すなわち の間では で，実際の座標は である。一方， のとき， 回目と 回目の反射の間では であり， が偶数なら実際の座標は ， が奇数なら である。
まず とする。線分上の点は ， を満たすから， である。よって となる。条件 より が必要であり，さらに だから を得る。
次に とする。 が偶数のときは なので，線分を通る条件は である。したがって となる。 の偶数では であるから， が から まで動くと は減少する。よって すなわち である。このとき であり， から となるので，確かに 回目と 回目の反射の間にある。 が奇数のときは なので， である。よって となる。これは について減少するから， すなわち である。この場合も なので， より となり，反射回数の条件を満たす。
以上より，求める範囲は
である。