問題
図のような容器を考える．空の状態から始めて，単位時間あたり一定の割合で水を注入し，底から測った水面の高さが10になるまで続ける．水面の上昇する速さは，水面の高さの関数として で与えられるものとする．水面の上昇が始まってから水面の面積が最大となるまでの時間を求めよ．
出典：大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
水を入れる量は単位時間あたり一定なので、「水面の面積 水面の上昇速度」が一定である。したがって水面の面積が最大になる高さは、 が最小になる高さである。 とおいて を微分し、最小となる を求める。その高さまでの時間は を積分して計算する。
解答
単位時間あたりに注入される水の体積を とする。高さ における水面の面積を とすると、短い時間 の間に増える水の体積は である。注入量は一定だから であり、 は に反比例する。したがって水面の面積が最大となるのは、 が最小となるときである。 とおくと、 より であり、 である。この範囲では である。微分すると
である。分母は正なので、 は する。 だから、 は 、すなわち で最小となる。
求める時間を とする。 より であるから
である。 とおくと である。さらに とおけば、、 なので
である。したがって
である。