問題
，を2次関数とし，2つの放物線
を考える．ただし，は下に凸で原点を頂点とし，は上に凸でその頂点はと異なるものとする．の上の点を直線上にはないようにとる．点を通り直線に平行な直線ととの交点のうち，以外の点をとする．さらに，直線と直線の交点をとする．このとき，線分の長さの比は点のとり方に関係なく一定であることを示せ．
出典：大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
放物線を一般形のまま扱うと文字が増えるので、頂点を使って 、 と置く。点 を頂点 からの横のずれ で表し、 に平行な原点通過直線と の交点 を求める。最後に、直線 が直線 上の固定点 を必ず通ることを計算で示せば、比 が一定になる。
解答
は下に凸で頂点が原点 なので とおける。また は上に凸で、頂点を とすると とおける。 である。 を 上の点とし、 の 座標を とおく。 の場合は直線 が定まらず、また問題では は直線 上にないから、考える点では である。このとき である。
直線 の方向は である。したがって、原点を通り に平行な直線は である。これと との交点は より である。原点以外の交点 は である。
ここで直線 上の点
を考える。すると
である。よって は直線 上にある。一方、 は の定数倍で表されているから直線 上にもある。
問題の仮定より は直線 上にないので、直線 が直線 そのものになることはない。したがって直線 と直線 の交点 は一意であり、 である。 だから は線分 上にあり、
である。ゆえに となる。右辺は2つの放物線 だけで決まり、点 の取り方に関係しない。したがって は一定である。