大阪大学 1992年度理系数学第3問解答・解説

問題

2以上の自然数 $n$ に対して，不等式

\frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \frac{1}{4 ^{3}} + \dots\dots + \frac{1}{n ^{3}} < \frac{1}{4}

が成り立つことを示せ．

出典：大阪大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

そのまま各項を粗く評価すると $\frac{1}{4}$ まで届きにくいので、部分和に少し余裕を持たせた命題 $S_{n} ≦ \frac{1}{4} - \frac{1}{2 n ^{2}}$ を帰納法で示す。帰納段階では、追加される $\frac{1}{( n + 1 ) ^{3}}$ が余裕の減少分以下であることを確認する。別解として、 $k ≧ 3$ の項を区間 $[k - 1, k]$ の積分で上から押さえる方法も使える。

解答

$S_{n} = \frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}}$ とおく。次の少し強い不等式を数学的帰納法で示す。 $S_{n} ≦ \frac{1}{4} - \frac{1}{2 n ^{2}} (n ≧ 2)$ $n = 2$ のとき $S_{2} = \frac{1}{8}$ であり、また $\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2 ^{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ だから成り立つ。

次に $n$ で成り立つと仮定する。このとき $S_{n + 1} = S_{n} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{3}}$ であるから、帰納法の仮定より $S_{n + 1} ≦ \frac{1}{4} - \frac{1}{2 n ^{2}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{3}}$ である。ここで $\frac{1}{( n + 1 ) ^{3}} ≦ \frac{1}{2 n ^{2}} - \frac{1}{2 ( n + 1 ) ^{2}}$ を示せばよい。両辺は正なので分母を払うと、これは $2 n^{2} ≦ (2 n + 1) (n + 1)$ と同値である。右辺は $(2 n + 1) (n + 1) = 2 n^{2} + 3 n + 1$ なので、確かに成り立つ。

したがって $S_{n + 1} ≦ \frac{1}{4} - \frac{1}{2 ( n + 1 ) ^{2}}$ であり、帰納法によりすべての $n ≧ 2$ で $S_{n} ≦ \frac{1}{4} - \frac{1}{2 n ^{2}} < \frac{1}{4}$ が成り立つ。よって $\frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}} < \frac{1}{4}$ である。

別解。積分で上から評価してもよい。 $k ≧ 3$ とし、 $k - 1 ≦ x ≦ k$ では $x ≦ k$ だから $\frac{1}{x ^{3}} ≧ \frac{1}{k ^{3}}$ である。したがって $\frac{1}{k ^{3}} < \int_{k - 1}^{k} \frac{d x}{x ^{3}}$ が成り立つ。よって $n ≧ 3$ では

S_{n} = \frac{1}{8} + k = 3 \sum n \frac{1}{k ^{3}} < \frac{1}{8} + \int_{2}^{n} \frac{d x}{x ^{3}} = \frac{1}{8} + [- \frac{1}{2 x ^{2}}]_{2}^{n} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2 n ^{2}} < \frac{1}{4}

である。 $n = 2$ のときは $S_{2} = \frac{1}{8} < \frac{1}{4}$ なので、すべての $n ≧ 2$ で示された。

大阪大学 1992年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

大阪大学 1992年度
理系数学第3問