問題
空間において，軸をとし，2点とを通る直線をとする．点を通り，2直線との両方に交わる直線が存在するためのについての条件を求めよ．また，直線の方程式を求めよ．
出典：大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
直線 が と の両方に交わるなら、 上の点 と 上の点 を結ぶ直線上に がある。そこで 、 とおき、 の成分比較を行う。 成分から を求め、 成分から を求める。分母が消える は、実際に成分比較が矛盾することも確認する。
解答
直線 上の点を とおく。また直線 は と を通るので、その上の点は と表せる。
求める直線 が存在するなら、 はある と を結ぶ直線上にある。したがって、ある実数 について と書ける。 を代入して成分を比較すると
である。
第2式と第3式を足すと だから である。もし なら となるが、第3式は となって矛盾する。したがって である。 のとき、第3式から である。また である。これを第1式に代入すると
となる。よって であり、ここから を得る。逆に とすると第1式は となり矛盾するので、確かに除かなければならない。
したがって存在条件は である。
この条件のもとで
である。方向ベクトルは の定数倍として を取れる。よって求める直線 は、実数 を用いて
である。