大阪大学 1992年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$m$ を $0 < m < 1$ なる実数とする．関数 $f (x) = - x lo g x$ $(x > 0)$ ， $g (x) = f (m x)$ $(x > 0)$ に対し， $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ の表す曲線を，それぞれ $C_{1}$ ， $C_{2}$ とし，2つの曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ の交点 $P (α, - α lo g α)$ における，曲線 $C_{1}$ の接線を $l_{1}$ ，直線 $x = t$ $(0 < t < α)$ を $l_{2}$ とする． $l_{1}$ ， $l_{2}$ および $C_{1}$ で囲まれる図形の面積を $S_{1} (t)$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ および $C_{2}$ で囲まれる図形の面積を $S_{2} (t)$ とするとき，次の問に答えよ．ただし，必要なら $x \to 0 lim x lo g x = 0$ の関係は用いてよい．

(1) $S_{1} (t)$ を $α$ と $t$ とを用いて表せ．

(2) $α$ を $m$ で表せ．

(3) $t \to 0 lim \frac{S _{1} ( t )}{S _{2} ( t )} = \frac{2}{3}$ となる $m$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

交点条件から $α$ を求める。接線と各曲線の差を積分し、 $t \to 0$ では $x lo g x \to 0$ を使って面積の極限を計算する。比の条件を $m$ の一次式へ整理する。

解答

$L = lo g α$ とおく。 $C_{1}$ の $P$ における接線は

l_{1} : y = α - (L + 1) x

である。

(1)

S_{1} (t) = \int_{t}^{α} {α - (L + 1) x + x lo g x} d x

だから

S_{1} (t) = \frac{α ^{2}}{4} - α t + \frac{3 t ^{2}}{4} - \frac{t ^{2}}{2} lo g \frac{t}{α} .

(2)

交点条件 $f (α) = f (m α)$ は

lo g α = m lo g (m α)

だから

α = m^{m / (1 - m)} .

(3)

$C_{2}$ は $g (x) = - m x lo g (m x)$ である。接線は両曲線より上にあるので

S_{2} (t) = \int_{t}^{α} {α - (L + 1) x + m x lo g (m x)} d x .

$t \to 0$ とすると

lim S_{1} (t) = \frac{α ^{2}}{4} .

また $(1 - m) L = m lo g m$ を用いて整理すると

lim S_{2} (t) = \frac{2 - m}{4} α^{2} .

従って

t \to 0 lim \frac{S _{1} ( t )}{S _{2} ( t )} = \frac{1}{2 - m} .

これが $2/3$ だから

m = \frac{1}{2} .

大阪大学 1992年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1992年度
後期・理系数学後期第4問