大阪大学 1992年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$k$ を正の整数， $a$ を実数とする． $x$ についての方程式

a x^{k + 1} - (1 + a) x^{k} + 1 = 0

が0と1との間（0，1は含まない）に解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$x = 1$ が常に解であることを利用し、 $0 < x < 1$ の別解が存在する条件を $a$ について解く。得られる関数を負の逆数冪の和として単調性と端の極限を調べる。

$0 < x < 1$ とする。方程式を $a$ について解くと

a = \frac{x ^{k} - 1}{x ^{k} ( x - 1 )} = - (\frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \dots + \frac{1}{x ^{k}}) .

右辺を $h (x)$ とおく。各 $x^{- j}$ は $0 < x < 1$ で減少するので、 $h (x)$ は単調増加する。また

x \to 0 + lim h (x) = - \infty, x \to 1 - lim h (x) = - k .

従って $0 < x < 1$ に解をもつための必要十分条件は

a < - k

である。