大阪大学 1992年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$x$ についての方程式 $x^{2} + a x + b + \frac{a}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$ を考える．ここで $a$ ， $b$ は実数である．

(1) この方程式の4つの解がすべて正であるための必要十分条件を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(2) $2 a + b = 14$ とする．このとき上の方程式の4つの解がすべて正の数で，かつそれらが等比数列をなすような $a$ ， $b$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

両辺に $x^{2}$ を掛けた相反四次方程式を $t = x + 1/ x$ の二次方程式へ変換する。4正根条件は異なる2つの $t > 2$ に対応する。(2)は等比数列と逆数対称性から根を $r^{- 3}, r^{- 1}, r, r^{3}$ と置く。

$x \neq = 0$ であり、両辺に $x^{2}$ を掛けて $t = x + 1/ x$ とおくと

t^{2} + a t + b - 2 = 0. (1)

1つの $t > 2$ に対し $x + 1/ x = t$ は相異なる2つの正根をもつ。従って元の方程式が4つの正根をもつための必要十分条件は、(1)が相異なる2根をもち、両方が2より大きいことである。これは

a < - 4, b + 2 a + 2 > 0, a^{2} - 4 b + 8 > 0

と同値である。実際、頂点 $- a /2 > 2$ 、 $t = 2$ で正、最小値が負という3条件である。

4根は逆数を取っても同じ集合で、正の等比数列をなすから、ある $r > 1$ により

r^{- 3}, r^{- 1}, r, r^{3}

と書ける。 $u = r + r^{- 1} > 2$ とおくと、(1)の2根は

u, r^{3} + r^{- 3} = u^{3} - 3 u .

従って

a = 2 u - u^{3}, b = u^{4} - 3 u^{2} + 2.

条件 $2 a + b = 14$ は

u^{4} - 2 u^{3} - 3 u^{2} + 4 u - 12 = 0

であり、

(u - 3) (u^{3} + u^{2} + 4) = 0.

$u > 2$ では後の因子は正だから $u = 3$ 。よって

a = - 21, b = 56.