大阪大学 1992年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

赤玉，白玉，青玉が各々 $a$ ， $b$ ， $c$ $(0 < a ≦ b ≦ c)$ 個入った箱から2個の玉を同時に取り出すことを考える．

(1) $n = a + b + c$ ， $s = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ とする．
取り出した2個の玉の色が相異なる確率 $P (a, b, c)$ を $n$ ， $s$ を用いて表せ．

(2) $n = 11$ のとき， $P (a, b, c)$ を最大にする $a$ ， $b$ ， $c$ と，そのときの $P (a, b, c)$ の値とを求めよ．

出典：大阪大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

異色の組の総数を $ab + b c + c a$ と数え、 $n^{2} - s$ へ変換する。(2)は和が固定された正整数3個の平方和を最小にするには差が1以下であることを示す。

異なる色の2個を選ぶ方法数は $ab + b c + c a$ だから

P (a, b, c) = \frac{ab + b c + c a}{_{n} C _{2}} .

$n^{2} = s + 2 (ab + b c + c a)$ より

P (a, b, c) = \frac{n ^{2} - s}{n ( n - 1 )} .

$n = 11$ では $P$ を最大にするには $s = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ を最小にすればよい。2数の差が2以上なら、大きい方を1減らし小さい方を1増やすと平方和が減る。従って3数の差は1以下でなければならず、

(a, b, c) = (3, 4, 4) .

このとき $s = 41$ だから

P_{m a x} = \frac{121 - 41}{11 \cdot 10} = \frac{8}{11} .