問題
以下の文中の（ア）～（キ）に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．
(1) 曲線上の点 における接線と直交し，点を通る直線（ア）と，曲線とのと異なる交点の座標は（イ）となる．点を1つの頂点とし，における接線上に他の2頂点をもつ正三角形の面積は（ウ）であり，点が曲線 上を動くとき，を最小にするの値は（エ）である．
(2) 赤玉1個，白玉2個，青玉個を1列に並べる順列の総数は（オ）である．
いま，赤玉1個，白玉2個，青玉個の入った箱から無作為に玉を1個取り出し，箱に戻すという操作を回くり返す．このとき，赤玉が1回，白玉が2回，青玉が回取り出される確率をとすると，（カ）であり，（キ）となる．
出典：大阪大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1)は法線と放物線のもう1つの交点を求め、正三角形の高さが点と接線の距離になることから面積を表す。(2)は多項分布の確率を整理し、指数関数の基本極限を使う。
解答
(1)
点 における法線は
よって（ア）はこの式である。放物線との交点の 座標の和は だから、もう1つの交点は
これが（イ）である。
は接線に垂直であり、その長さを とすると
正三角形で頂点から対辺までの距離が のとき面積は だから
これが（ウ）である。 とおくと で、微分により で最小となる。従って（エ）は
(2)
順列の総数（オ）は
各回の赤、白、青の確率はそれぞれ だから
これが（カ）である。整理すると
従って（キ）は