大阪大学 1991年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$n = 1, 2, 3, \dots\dots$ に対し $h_{n} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - n ∣ t ∣ 0 (∣ t ∣ ≦ \frac{1}{n} のとき) (∣ t ∣ > \frac{1}{n} のとき)$ とする．
$f_{n} (x) = n \int_{- 1}^{1} h_{n} (t) sin (x - t) d t$ とおくとき，

(1) $f_{n} (x)$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim f_{n} (x)$ を求めよ．

出典：大阪大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

核 $h_{n}$ が偶関数なので、 $sin (x - t)$ のうち $sin x cos t$ の項だけが残る。三角形状の重みの積分を部分積分し、係数の極限を基本極限で求める。

解答

$h_{n} (t)$ は偶関数である。 $sin (x - t) = sin x cos t - cos x sin t$ と展開すると、後半は奇関数なので積分が0になる。

(1)

f_{n} (x) = 2 n sin x \int_{0}^{1/ n} (1 - n t) cos t d t = 2 n^{2} (1 - cos \frac{1}{n}) sin x .

(2)

2 n^{2} (1 - cos \frac{1}{n}) = n^{2} (2 sin \frac{1}{2 n})^{2} \to 1.

従って

n \to \infty lim f_{n} (x) = sin x .

大阪大学 1991年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1991年度
後期・理系数学後期第3問