大阪大学 1991年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

中心 $O$ ，半径1の円周上に，反時計まわりの順に4点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ が並んでいる． $D$ を含む弧 $C A ⌢$ の中点を $D_{1}$ ， $C$ を含む弧 $B D_{1} ⌢$ の中点を $C_{1}$ とする．

(1) 四角形 $A B C_{1} D_{1}$ の面積は四角形 $A B C D$ の面積より小さくないことを証明せよ．

(2) さらに， $D_{1}$ を含む弧 $C_{1} A ⌢$ の中点を $D_{2}$ ， $C_{1}$ を含む弧 $B D_{2} ⌢$ の中点を $C_{2}$ とする．以下同様にくり返して，円周上の点列 ${C_{n}}$ ， ${D_{n}}$ をつくる．
$α_{n} = ∠ D_{n} O A$ ， $β_{n} = ∠ B O C_{n}$ とおくとき， $n \to \infty lim α_{n}$ と $n \to \infty lim β_{n}$ を $θ = ∠ A O B$ を用いて表せ．ただし，円周上の2点 $P$ ， $Q$ に対して， $∠ P O Q$ は $P$ から $Q$ まで反時計まわりにはかるものとする．

出典：大阪大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

円周上の連続する弧の中心角を使う。弧の中点化では、2つの角の正弦和が平均角の2倍の正弦以下になるため面積が減らない。(2)は $α_{n}, β_{n}$ の一次漸化式を作る。

解答

$θ = ∠ A O B$ 、また連続する弧 $B C, C D, D A$ の中心角を $β, δ, α$ とする。

(1)

円に内接する四角形の面積は

\frac{1}{2} (sin θ + sin β + sin δ + sin α) .

$D_{1}$ は弧 $C A$ の中点だから

α_{1} = ∠ D_{1} O A = \frac{δ + α}{2} .

また $C_{1}$ は弧 $B D_{1}$ の中点だから

β_{1} = ∠ B O C_{1} = \frac{β + α _{1}}{2} .

$0 < u, v, u + v < 2 π$ のとき

sin u + sin v ≦ 2 sin \frac{u + v}{2}

である。従って

sin δ + sin α ≦ 2 sin α_{1}, sin β + sin α_{1} ≦ 2 sin β_{1} .

以上を足し合わせれば

sin β + sin δ + sin α ≦ 2 sin β_{1} + sin α_{1},

よって新しい四角形の面積は小さくない。

(2)

点の並びから

α_{n + 1} = π - \frac{θ + β _{n}}{2}, β_{n + 1} = π - \frac{θ + α _{n + 1}}{2} .

第2式へ第1式を代入すると

β_{n + 1} = \frac{1}{2} (π - \frac{θ}{2}) + \frac{1}{4} β_{n} .

従って $β_{n}$ は収束し、その極限は

\frac{2 π - θ}{3} .

第1式から $α_{n}$ も同じ値へ収束する。よって

lim α_{n} = lim β_{n} = \frac{2 π - θ}{3} .

大阪大学 1991年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1991年度
後期・理系数学後期第2問