大阪大学 1991年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2次の正方行列 $A$ ， $B$ は $A B = - B A$ ， $A^{2} = B^{2} = E$ を満たしているとする．ここで， $E = (1001)$ である．

(1) $(3 A + B)^{100}$ を計算せよ．

(2) $A = (0110)$ のとき， $B$ の表す1次変換により曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ はどのような曲線に移るか．その曲線の方程式を求めよ．

出典：大阪大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

(1)は反交換関係で交差項を消す。(2)は $A B = - B A$ から $B$ の成分形を決め、 $B^{2} = E$ により双曲線の二次形式が保存されることを示す。

(3 A + B)^{2} = 9 A^{2} + 3 (A B + B A) + B^{2} = 10 E .

従って

(3 A + B)^{100} = 1 0^{50} E .

$B = (p r q s)$ とおく。 $A B = - B A$ より

r = - q, s = - p,

従って

B = (p - q q - p) .

さらに $B^{2} = E$ より

p^{2} - q^{2} = 1.

像の座標を $(X, Y) = B (x, y)$ とする。 $B^{- 1} = B$ だから

x = pX + q Y, y = - q X - p Y .

従って

x^{2} - y^{2} = (p^{2} - q^{2}) (X^{2} - Y^{2}) = X^{2} - Y^{2} .

よって像も

X^{2} - Y^{2} = 1

で表される同じ双曲線である。