大阪大学 1990年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

点 $A (- 1, 0, 0)$ を中心とする半径 $r_{1}$ の球 $O_{1}$ の内部に，点 $B (1, 0, 0)$ を中心とする半径 $r_{2}$ の球 $O_{2}$ が含まれている．球 $O_{1}$ に内接し，かつ球 $O_{2}$ に外接する球の中心 $P$ 全体がつくる曲面を $S$ とする．

(1) 曲面 $S$ の $x y$ 平面による切り口 $C$ の $x y$ 平面上での方程式を求めよ．

(2) 曲面 $S$ によって囲まれる部分の体積 $V$ を求めよ．

出典：大阪大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

動く球の半径を $ρ$ 、中心を $P$ とする。球 $O_{1}$ への内接と球 $O_{2}$ への外接から $A P + B P = r_{1} + r_{2}$ が得られ、中心の軌跡は焦点 $A, B$ の回転楕円面になる。切り口の楕円を求め、その長半径と短半径から回転楕円体の体積を計算する。

解答

(1)

動く球の半径を $ρ$ とする。球 $O_{1}$ に内接することから

A P + ρ = r_{1},

球 $O_{2}$ に外接することから

B P = ρ + r_{2} .

両式より

A P + B P = r_{1} + r_{2} .

焦点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ からの距離の和が一定なので、切り口 $C$ は原点中心の楕円である。長半径を

a = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}

とすると、焦点距離が1であるから短半径の二乗は $a^{2} - 1$ である。したがって

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2} - 1} = 1, a = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} .

(2)

曲面 $S$ はこの楕円を $x$ 軸のまわりに回転して得られる。よって囲まれる回転楕円体の体積は

V = \frac{4 π}{3} a (a^{2} - 1) .

$a = (r_{1} + r_{2}) /2$ を代入して

V = \frac{π}{6} (r_{1} + r_{2}) {(r_{1} + r_{2})^{2} - 4} .

大阪大学 1990年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1990年度
後期・理系数学後期第3問