大阪大学 1990年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

方程式 $\frac{( x - c _{n} ) ^{2}}{a _{n} ^{2}} + \frac{y ^{2}}{k ^{2} a _{n} ^{2}} = 1$ で表される楕円 $E_{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ の列を考える．どの $E_{n}$ も直線 $y = m x$ $(m > 0)$ に接し，かつ， $E_{n}$ と $E_{n + 1}$ はただ1点を共有している．ただし， $c_{1} > 0$ ， $c_{n} > c_{n + 1}$ ， $c_{n} > 0$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ とする．

(1) $m$ を $a_{1}$ ， $c_{1}$ ， $k$ を用いて表せ．

(2) $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ を $a_{1}$ と $c_{1}$ で表せ．

(3) 楕円 $E_{n}$ の内部の面積を $S_{n}$ とするとき， $n = 1 \sum \infty S_{n}$ を $a_{1}$ ， $c_{1}$ ， $k$ で表せ．ただし，楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ の内部の面積は $π ab$ である．

出典：大阪大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

直線 $y = m x$ を楕円の式へ代入し、接する条件を判別式0で求める。すべての楕円が同一直線に接することから $c_{n} / a_{n}$ は一定である。隣り合う相似な楕円が一つの共有点を持つ条件は $x$ 軸上での外接となり、 $a_{n}$ が等比数列になる。

解答

(1)

$y = m x$ を $E_{1}$ に代入して整理すると

(k^{2} + m^{2}) x^{2} - 2 k^{2} c_{1} x + k^{2} (c_{1}^{2} - a_{1}^{2}) = 0.

接するため判別式は0である。よって

m^{2} (c_{1}^{2} - a_{1}^{2}) = k^{2} a_{1}^{2}

となり、 $m > 0$ だから

m = \frac{k a _{1}}{c _{1}^{2} - a _{1}^{2}} .

(2)

同じ計算を $E_{n}$ に行うと

\frac{c _{n}}{a _{n}} = \frac{c _{1}}{a _{1}} =: λ > 1

である。 $c_{n} > c_{n + 1}$ より $a_{n} > a_{n + 1}$ である。二つの楕円は同じ縦横比をもち、中心が $x$ 軸上にある。内接なら中心間距離は $a_{n} - a_{n + 1}$ だが、実際には $λ (a_{n} - a_{n + 1})$ であり $λ > 1$ なので不可能である。したがって外接し、

c_{n} - c_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 1} .

$c_{j} = λ a_{j}$ を代入すると

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{λ - 1}{λ + 1} = \frac{c _{1} - a _{1}}{c _{1} + a _{1}} .

(3)

$S_{n} = π k a_{n}^{2}$ である。(2)の比を $r$ とおくと $0 < r < 1$ だから

n = 1 \sum \infty S_{n} = \frac{π k a _{1}^{2}}{1 - r ^{2}} .

ここで

1 - r^{2} = 1 - (\frac{c _{1} - a _{1}}{c _{1} + a _{1}})^{2} = \frac{4 c _{1} a _{1}}{( c _{1} + a _{1} ) ^{2}} .

よって

n = 1 \sum \infty S_{n} = \frac{π k a _{1} ( c _{1} + a _{1} ) ^{2}}{4 c _{1}} .

大阪大学 1990年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1990年度
後期・理系数学後期第2問